Math


因数分解の新たなる公式


因数分解の問題は見た瞬間に「こうすれば解けるだろうな」という構想が浮かべば最高です。

ではどうやってすぐに解法を思い浮かべる事が出来るでしょうか。


ズバリ、因数分解の問題をなるべく多く解く事です。

そのためにもまず公式を覚えなければなりませんが、ここで公式を使った発想力のいる問題を紹介します。


�@　公式 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) を使う


　例えばこんな問題は上の公式を応用すれば解く事ができます。

　問：(2x+y+z)^3-(x+2y-z)^3-(x-y+2z)^3を展開せよ(^3は３乗を表す。)


　考え方：はっきり言ってひとつひとつ展開して求めるのは時間の無駄です。

　こういった類の問題は必ず工夫して解くものがほとんどです。


　…というわけでまず分かりやすくするために(2x+y+z)と(x+2y-z)と(x-y+2z)をそれぞれA、B、Cとしましょう。

　するとA^3-B^3-C^3と表すことができます。

　ここで、さっきの公式x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)にx=A、y=-B、z=-Cを両辺に代入します。すると…

　A^3-B^3-C^3-3ABC=(A-B-C)(A^2+B^2+C^2+AB-BC+CA)となります。(是非確かめて見て下さい)

　ではこの式にA=(2x+y+z)、B=(x+2y-z)、C=(x-y+2z)を代入します。すると…


　(2x+y+z)^3-(x+2y-z)^3-(x-y+2z)^3-3(2x+y+z)(x+2y-z)(x-y+2z)={(2x+y+z)-(x+2y-z)-(x-y+2z)} {(2x+y+z)^2+…}


　途中から省略したのは決して書くのが面倒とかそういうわけではありません。実は書く必要がない理由があるのです。

　ここで赤字の部分に注目して下さい。

　赤字の部分はA、B、Cで置いた時の式 A^3-B^3-C^3-3ABC=(A-B-C)(A^2+B^2+C^2+AB-BC+CA)の部分ですね。


　じゃあ実際に(2x+y+z)-(x+2y-z)-(x-y+2z)を求めてみましょう。すると…

　(2x+y+z)-(x+2y-z)-(x-y+2z)=2x+y+z-x-2y+z-x+y-2z=0

　なんと0になるのです。だからさっきの式は

　(2x+y+z)^3-(x+2y-z)^3-(x-y+2z)^3-3(2x+y+z)(x+2y-z)(x-y+2z)={(2x+y+z)-(x+2y-z)-(x-y+2z)} {(2x+y+z)^2+…}

　=(2x+y+z)^3-(x+2y-z)^3-(x-y+2z)^3-3(2x+y+z)(x+2y-z)(x-y+2z)=0{(2x+y+z)^2+…}

　=(2x+y+z)^3-(x+2y-z)^3-(x-y+2z)^3-3(2x+y+z)(x+2y-z)(x-y+2z)=0

　よって移項して

　(2x+y+z)^3-(x+2y-z)^3-(x-y+2z)^3=3(2x+y+z)(x+2y-z)(x-y+2z)

　3(2x+y+z)(x+2y-z)(x-y+2z)…(答)　となります。


　ここで自分なりにまとめると

　A^3-B^3-C^3において、A-B-C=0の時、3ABCとなる。

　となります。



こんな事覚えても役に立たないだろうと思うあなたへ。

実はこの問題、僕自身がこの前受けた河合塾の模試で出ました。(2008年5月行われた)

この問題を模試が行われた１ヶ月前に知ったばかりだったので模試で出た時驚きました。

知らないという事はとても恐ろしいですね。


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