Math


入試問題をやってみよう　その１


突然ですが今日はみなさんにある入試問題を一緒に解いてもらいます。どこの大学かは最後に言います。



　問：放物線y=x^2上に２点P、Qがある。
□□線分PQの中点のy座標をhとする。線分PQの長さLと傾きmで、hを表せ。

　（x^2とはxを２乗した形のことです。）



（ 解 ）

これはなんと数学�Uの知識さえあれば解く事が出来ます。ですが公式を忘れた人のために必要なだけの公式を示しておきます。







では早速問題を解いてみましょう。

まず点P、Qのx座標をp、qとおいてみましょう。すると点P、Qはy=x^2を通っているのでy=x^2にそれぞれx=p、x=qを代入して

P(p、p^2)、Q(q、q^2)となる事がわかりますね。


さて次は傾きmを求めます。ここで公式�Aを使って



ということが分かります。でもmはもう少し簡単に表すことが出来ますよね。



そうですね、分子を因数分解して約分するとm=p+qという綺麗な形にする事が出来ます。


そして今度はLの長さも同様に出したいので公式�@を使います。

しかし公式�@に値をそのまま代入すると√がついて計算が面倒なので両辺を2乗します。すると

.L^2=(p-q)^2+(p^2-q^2)^2

となります。そしてこのまま計算を続けて

.L^2=(p-q)^2+(p^2-q^2)^2

.=(p-q)^2+{(p+q)(p-q)}^2

.=(p-q)^2+(p+q)^2 (p-q)^2

.=(p-q)^2{1+(p+q)^2}

となり、L^2=(p-q)^2{1+(p+q)^2}である事が分かりました。


でもこれ、もう少しだけ綺麗な形にする事が出来ます。

さっき出したm=p+qを使うのです。これを代入して

L^2=(p-q)^2{1+m^2}となります。

ここから発想が難しくなってきます。

hの値は公式�Bより



となるのでp^2+q^2をL、mを使って表せばこの問題が解けるわけです。

さて、さっきL^2=(p-q)^2{1+m^2}という等式が出てきました。

これを(p-q)^2についておくと



となります。

また、m=p+qの両辺を2乗するとm^2=(p+q)^2という式が得られます。

ここで、



と(p+q)^2=m^2 （←都合上m^2=(p+q)^2の左辺と右辺を交換しました。）

の２つの式の辺々を足します。すると左辺は

.(p-q)^2+(p+q)^2=p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2=2p^2+2q^2=2(p^2+q^2)

となり右辺はそのまま



となるので



が成り立ちます。


ところでさっきhの値をp^2+q^2を使って表しましたよね。



これと



を組み合わせてhを出します。よってhは



となります。


いかがだったでしょうか。途中の2式を足すあたりはやはり演習を積まないとなかなか出てこない発想だったと思います。

実はこの問題、東京大学の入試問題だったのです。

正確には2008年東京大学(前期)数学第4問(1)からでした。

(2)もあるのです Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。　という問題でしたがこれは微分を知らないと解けません。

正直この問題は東大からすると「簡単な問題」として出題しています。

東大の数学はこれ以上に難しいのが多いのでいかに簡単な問題で点を稼げるかが勝負になります。

ということは問題を見てすぐに問題の難易度を見極める力が試されるわけですね。

もしこれを機に東大に興味を持ったなら、是非過去問を見てください！↓



２００８年 東京大学 前期 入試問題と解答例


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